Binomial Pricing Model / Lattice Model

Svazový model (také známý jako krokový, fázový či stupňový model nebo anglicky lattice model) je nástroj, který se ve financích často používá k nalezení vnitřní hodnoty opce nebo akcie. Model rozděluje časový usek mezi časem současným (t) a expirací opce nebo prodejem akcie (například čas t + x) na N samostatných úseků (rok 1 a rok 2 na uvedeném obrázku). V libovolném čase (t) má model konečný počet výsledků období (t + 1) přičemž každá možná změna je zachycena ve své větvi rozhodovacího stromu.

Známe-li statisticky pravděpodobnou cenu v čase (t + 1), můžeme vypočítat vnitřní hodnotu v čase (t). Vnitřní hodnota se počítá v každém bodě rozhodovaního stromu směrem od času (t + x) k počátku rozhodovacího stromu v (t) až se dospěje k jedné vnitřní hodnotě aktiva.

Jednoduchým svazovým modelem, kde stavy světa v každém kroku rozhodovacího stromu mohou mít pouze dvě hodnoty, A nebo B, je binomický oceňovací model. Svazový model může mít více než jen dva stavy světa. Výklad bude srozumitelnější na příkladu.

Příklad:

Na obrázku je zachycen binomický model pro dvě období. Hodnota akcie v každém období může buď vzrůst nebo klesnout. Pokud hodnota akcie vzroste, bude to o 50%. Pokud hodnota akcie klesne, bude to o 30%. Počáteční hodnota akcie v bodě B0 nechť je 100 Kč.

V bodu B2NN cena akcie dvakrát po sobě vzrostla, je tedy 100 * 1,5 * 1,5 = 225. V bodu B2ND cena akcie jednou vzrostla a pak kleska, bude tedy 100 * 1,5 * 0,7 = 105.

Pokud víme pravděpodobnosti s jakými cena vzroste nebo klesne, můžeme vypočítat vnitřní hodnotu akcie v bodě B0. Dejme tomu, že pokud akcie vzroste, bude to s pravděpodobností 55% a pokud klesne bude to s pravděpodobností 45%. Jaká je tedy vnitřní hodnota akcie v bodě B1N? Výsledek v bodě B2NN ve výši 225 dosáhneme s pravděpodobností 55% vzhledem ke stavu v bodu B1N (toto je dáno). Výsledek v bodě B2ND ve výši 105 dosáhneme s pravděpodobností 45% vzhledem ke stavu v bodu B1N (toto je rovněž dáno). Hodnota v bodu B1N je tedy 225 * 0,55 + 105 * 0,45 = 171 (výpočet modelu). Výsledek v bodu B1D je analogicky 105 * 0,55 + 49 * 0,45 = 79,80 (výpočet modelu).

K hodnotě akcie v bodu B0 dospějeme stejným postupem jen s tím rozdílem, že nyní posuzujeme vnitřní hodnoty vypočtené v bodech B1N a B1D vzhledem k počátku rozhodovacího stromu, tedy již vypočítané vnitřní hodnoty zvážíme pravděpodobnostmi jejich nastání. Vnitřní hodnota naší akcie je 171 * 0,55 + 79,80 * 0,45 = 129,96, a tak by bylo možno ji doporučit ke koupi protože je to o zhruba 30 více než její počáteční hodnota bez uvážení výší jejího možného vzestupu či poklesu a odpovídající pravděpodobnosti.

Oceňování opcí pomocí binomického modelu je založeno na stejném principu a postupu jako jsme použili v uvedeném jednoduchém příkladu ocenění akcie. Na závěr dodejme, že při výpočtech v jednotlivých bodech rozhodovacího stromu je nutno porovnat vypočtenou vnitřní hodnotu s nominální hodnotou v daném bodu a v nadřazených krocích dále použít tu správnou vzhledem k zadání našeho modelu (nákup či prodej aktiva).

Náš příklad je znázorněním dvoustavového světa v binomickém modelu. Obecný svazový model s n stavy by bral v úvahu vzestup, pokles, žádná změna, cokoliv mezi tím.

Binomial Pricing Model / Lattice Model